The Túzaro

El concepto de derivada

Posted in Divulgación by thetuzaro on 1 agosto 2012

Hace mucho que no escribo nada en plan empollón, así que me voy a animar hoy. Sin embargo, no voy a hablar sobre nada relacionado directamente con mi trabajo, sino que voy a tratar de explicar qué es, qué significa y para qué sirve una herramienta matemática básica con la que muchos de los que leáis esto os habréis tenido que pelear en algún momento: la derivada. Que no cunda el pánico, que no voy ponerme a escribir fórmulas como un loco, aunque la cosa sea de matemáticas.

¿Por qué quiero escribir sobre esto? Pues, sinceramente, porque ayer estuve viendo el segundo capítulo de la magnífica serie educativa sobre física El Universo Mecánico y me gustó mucho la manera en la que introducían el concepto de derivada. Pensado en esto, me acordé de unos mp3 que me bajé hace años de un profesor de una universidad tejana en los que también explicaba el concepto de derivada de una forma muy didáctica. Así que me he propuesto hacer un refrito con añadidos de mi cosecha, y explicaros a vosotros qué es una derivada y, sobre todo, cuál es su significado: para qué vale. Por un lado lo hago como pasatiempo, pero también porque cuando uno aprende estas cosas (y también cuando las enseña a otros) es muy fácil quedarse sólo con la técnica, con las formulas, con una serie de pasos que hay que seguir para realizar una determinada operación, y olvidar el propósito de lo que uno está haciendo, qué significa, qué aplicaciones tiene en la vida real. Para los que seais de ciencias, igual lo que voy a decir os parece de sobras conocido, pero espero que haya muchos compañeros de letras a los que les parezca muy interesante lo que voy a contar. Así que manos a la obra.

Guardias Civiles, probablemente discutiendo la paradoja de Zenón con un conductor (foto de la Wikipedia).

Para que resulte más ameno, vamos empezar con un ejemplo muy sencillo hablando de coches y multas de tráfico. Imaginad que vais en vuestro coche, y tras pasar un pueblo, la Guardia Civil os da el alto y os dice “buenos días, documentación. Iba usted a 80 km/h por una zona que estaba limitada a 50 km/h”. Como es natural, negaréis todo: “imposible, yo siempre cumplo las normas a rajatabla, soy un bendito”. Entonces el guardia saca una foto para demostrar que ibais más rápido de lo debido, pero no pasa nada, vosotros, que sois unos pájaros de cuidado tenéis la respuesta preparada: “mire, señor agente, en la foto se ve claramente que mi coche está quieto, por lo tanto no puedo ir a más de 50 km/h”.

Esto, que parece una parida (y que os recomiendo que no probéis en la vida real, no vaya a ser), es una versión casposa de lo que se conoce como paradoja de la flecha de Zenón. Un tipo lanza una flecha, y Zenón piensa: “si me fijo en cualquier instante de tiempo, la flecha está quieta en un sitio; si me fijo en cualquier instante anterior o posterior, la flecha está quieta en otro sitio diferente: ¿cómo es posible que la flecha se mueva, si en cada instante de tiempo la flecha está quieta? ¡Algo no cuadra!”.

Obviamente la flecha se está moviendo, porque ahora está aquí, y un rato después está allí. Si la flecha ha avanzado, por ejemplo, diez metros en un segundo, podemos decir además que se movía, al menos en promedio, a 10 metros por segundo (que se escribe 10 m/s, por aquello de abreviar). Del mismo modo, el Guardia Civil, os puede enseñar una foto de un instante posterior (pongamos 5 segundos) a la primera foto, en la que se ve que vuestro coche ha avanzado 70 metros. Si os hacéis las cuentas, veréis que si avanzasteis 70 metros en 5 segundos con vuestro coche ibais a un promedio de unos 14 m/s, o, lo que es lo mismo, unos 50 km/h: en el límite, pero legal. En cambio, el guardia no da su brazo a torcer y sigue empeñado en demostrar que en el instante de la primera foto, el coche iba a 80 km/h y que después su velocidad fue disminuyendo ¿Cómo puede hacerlo?

Figura 1. Varios valores de la distancia recorrida por el coche diferentes instantes tras la primera fotografía. Los valores de la velocidad señalados los he calculado utilizando los pares de puntos indicados con flechas.

Ya hemos visto que la manera de calcular la velocidad es ver cuánto se ha movido el coche en un determinado intervalo de tiempo. Para ver cuál es la velocidad en el instante inicial, cuando el guardia hizo la primera foto, lo que tenemos que hacer es irnos fijando en un intervalo de tiempo cada vez más pequeño. Supongamos que tenemos fotos de la posición del coche en un buen número de instantes después del incial. Unos pocos de estos datos están dibujados en la Figura 1. Está bastante claro que, según pasa el tiempo, el coche avanza cada vez menos y menos terreno. En otras palabras, está frenando, tal y como dice el agente. Vamos a calcular la velocidad para intervalos cada vez más pequeños hasta que seamos capaces de calcular la velocidad instantánea al principio, en el momento de la primera foto. En la figura he dibujado unas cuantas flechas indicando los pares de puntos (o pares de fotos) que he utilizado para calcular las velocidades indicadas. Primero he tomado un intervalo de cinco segundos desde el instante inicial; después un intervalo de tres segundos y, finalmente, un intervalo de un segundo. En cada caso, lo que he hecho es dividir la distancia recorrida entre el tiempo transcurrido. Como veis, el valor de la velocidad, según reducimos la duración del intervalo de tiempo, se va pareciendo más y más a los 80 km/h que decía el agente, que al final va a tener razón.

Si seguimos reduciendo el intervalo de tiempo que utilizamos para calcular la velocidad (y asumiendo que el guardia tiene muchísimas fotos, hechas con una precisión acojonante) nos iremos aproximando más y más al concepto de derivada, que no es otra cosa que cuánto varía una cantidad con respecto a lo que varía otra, para un determinado valor de ésta última (en nuestro caso, para un instante determinado, un intervalo de tiempo cortísimo). En la Tabla 1 os muestro la velocidad que se obtiene según vamos haciendo nuestro intervalo de tiempo más y más corto. Claramente, la velocidad se va aproximando más y más al valor de 80 km/h del que os acusaba el Guardia Civil. La conclusión es obvia: podemos hacer el intervalo de tiempo tan pequeño como se nos antoje, y la velocidad será cada vez más cercana a 80 km/h. Por tanto, cuando el intervalo sea tan ridículamente pequeño (y recordad que lo podemos hacer tan pequeño como se nos antoje: no hay límite) que, básicamente, sea un instante, ese instante en el que el guardia os echó la primera foto, la velocidad será tan exageradamente parecida a 80 km/h que, en fin, será 80 km/h, con lo que el guardia gana, os pone la multa y, de paso, resuelve la paradoja de Zenón.

Tabla 1. Resultado de calcular la velocidad del coche en el instante incial utilizando intervalos de tiempo cada vez más cortos.

Esto es el concepto de derivada: poder saber cuánto varía la posición del coche según avanza el tiempo, es decir la velocidad, en cada instante. Y, por supuesto, la cosa no se limita a velocidades y objetos en movimiento. El ritmo de variación de una magnitud, la que sea, en función de cuánto varíe otra magnitud: todo eso son derivadas. Cuánto varía el precio de un producto según varía su demanda; la producción agrícola según varíe la temperatura, o la cantidad de lluvia, la población de un determinado animal según aumente o disminuya la cantidad de alimento, o la población de sus predadores naturales…

En el ejemplo que yo he puesto, nos hemos limitado a calcular la derivada de la posición con respecto al tiempo en el primer instante de nuestro experimento imaginado, justo cuando el guardia tiraba la primera foto. Por supuesto que, como he dicho más arriba, la derivada se puede calcular para cualquier instante, para cualquier valor de lo que se llama la variable independiente (en los ejemplos del párrafo anterior, la demanda de un producto, la temperatura o la cantidad de lluvia en los campos, o la cantidad de alimento para unos animales). Sin embargo, creo que cómo calcular la fórmula general que nos dé la derivada para cualquier valor del tiempo es mejor que os lo explique el capítulo de El Universo Mecánico que me inspiró a mí para escribir esto, porque ya he soltado mucho rollo, ellos lo hacen muy bien y con animaciones. Además, el ejemplo que ellos utilizan es bastante menos enrevesado de lo que sería hacerlo con mi ejemplo del coche que frena. Me conformo con haber intentado convenceros de que la derivada es algo mucho más profundo y útil que simplemente unas reglas que nos enseñaron en el instituto y que, aplicadas a una función matemática, nos dan otra.

4 comentarios

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  1. Maika said, on 1 agosto 2012 at 22:40

    Una explicación muy clarita y didáctica, si señor! Me ha gustado mucho.

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    • thetuzaro said, on 1 agosto 2012 at 22:42

      Se agradece la visita y los piropos.🙂

      Un saludo.

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  2. Fredy said, on 1 agosto 2012 at 23:12

    si hubiera tenido profes como tu en el instituto al que íbamos!🙂

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    • thetuzaro said, on 2 agosto 2012 at 7:09

      Éramos adolescentes: nos la hubiera sudado lo mismo, jeje. Gracias por pasarte.

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